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上一节：【高等数学】第一章 函数与极限——第四节 无穷大与无穷小
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1. 极限运算法则

• 定理1 两个无穷小的和是无穷小

  $\alpha :?\epsilon >0,?{\delta }_1>0,0<|x?x_0|<{\delta }_1,|\alpha |<\frac{\epsilon }{2}$
  $\beta :?\epsilon >0,?{\delta }_2>0,0<|x?x_0|<{\delta }_1,|\beta |<\frac{\epsilon }{2}$
  $\gamma =\alpha +\beta :?\epsilon >0,?\delta =\min \{{\delta }_1,{\delta }_2\}>0,0<|x?x_0|<\delta ,|\gamma |=|\alpha +\beta |<\epsilon$

  • 有限个无穷小之和也是无穷小

  （数学归纳法）$P(2)=f_1(x)+f_2(x)$，由定理1显然成立
  假设$P(k)(k\ge 2)=\sum _{i=1}^k{f}_i(x)$成立
  $P(k+1)=P(k)+f_{k+1}(x)$，由定理1显然成立

• 定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小

  $\alpha :?\epsilon >0,?{\delta }_1>0,x\in \stackrel{°}{U}(x_0,{\delta }_1),|\alpha |<\frac{\epsilon }{M}$
  $f(x):x\in \stackrel{°}{U}(x_0,{\delta }_2),|f(x)|\le M$
  $\alpha f(x):\delta =\min \{{\delta }_1,{\delta }_2\},x\in \stackrel{°}{U}(x_0,\delta ),|\alpha f(x)|\le \epsilon$

  • 推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小
  • 推论2 有限个无穷小的乘积是无穷小

  ${\alpha }_1:?\epsilon >0,?{\delta }_1>0,x\in \stackrel{°}{U}(x_0,{\delta }_1),|\alpha |<{\epsilon }^{\frac{1}{n}}$
  ${\alpha }_2:?\epsilon >0,?{\delta }_2>0,x\in \stackrel{°}{U}(x_0,{\delta }_2),|\alpha |<{\epsilon }^{\frac{1}{n}}$
  $...$
  ${\alpha }_n:?\epsilon >0,?{\delta }_n>0,x\in \stackrel{°}{U}(x_0,{\delta }_n),|\alpha |<{\epsilon }^{\frac{1}{n}}$
  $\prod _{i=1}^n{\alpha }_i:\delta =\min \{{\delta }_1,{\delta }_2,\dots ,{\delta }_n\}>0,x\in \stackrel{°}{U}(x_0,\delta ),|\alpha |<\epsilon$

• 定理3 如果$\lim f(x)=A,\lim g(x)=B$，那么
  $(1)\lim [f(x)\pm g(x)]=\lim f(x)\pm \lim g(x)=A\pm B$
  $(2)\lim [f(x)?g(x)]=\lim f(x)?\lim g(x)=A?B$
  $(3)\lim \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim f(x)}{\lim g(x)}=\frac{A}{B}(B\ne 0)$

  $f(x)=A+\alpha ,g(x)=B+\beta$
  $(1)\lim [f(x)\pm g(x)]=A\pm B+\lim [\alpha \pm \beta ]?|\alpha \pm \beta |\le |\alpha |+|\beta |$
  $\lim f(x)\pm \lim g(x)=A\pm B+\lim \alpha \pm \lim \beta$
  $(2)\lim [f(x)?g(x)]=\lim (AB+A\beta +B\alpha +\alpha \beta )=AB+A\lim \beta +B\lim \alpha +\lim (\alpha \beta )?|\alpha \beta |=|\alpha ||\beta |$
  $\lim f(x)?\lim g(x)=(A+\lim \alpha )(B+\lim \beta )=AB+A\lim \beta +B\lim \alpha +\lim \alpha ?\lim \beta$
  $(3)\gamma =\frac{f(x)}{g(x)}?\frac{A}{B}=\frac{A+\alpha }{B+\beta }?\frac{A}{B}=(B\alpha ?A\beta )\frac{1}{B(B+\beta )}?|\frac{1}{B}|?|\frac{1}{g(x)}|<\frac{2}{B^2},x\in \stackrel{°}{U}(x_0)$（$B\ne 0$，函数极限的定理$3^{\prime }$）
  $\frac{\lim f(x)}{\lim g(x)}=\frac{A+\lim \alpha }{B+\lim \beta }$

  • 推论1 如果$\lim f(x)$存在，而$c$为常数，那么$$\lim [cf(x)]=c\lim f(x)$$
  • 推论2 如果$\lim f(x)$存在，且$n$是正整数，那么$$\lim [f(x){]}^n=[\lim f(x){]}^n$$
• 定理4 设有数列$\{x_n\}$和$\{y_n\}$。如果$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=A,\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_n=B$$那么$$\begin{gathered} (1)\underset{n\to \infty }{\lim }(x_n\pm y_n)=A\pm B \\ (2)\underset{n\to \infty }{\lim }(x_n?y_n)=A?B \\ (3)\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{x_n}{y_n}=\frac{A}{B}(y_n\ne 0,B\ne 0) \end{gathered}$$
• 定理5 如果$?(x)\ge \psi (x)$，而$\lim ?(x)=A,\lim \psi (x)=B$，那么$A\ge B$

  $f(x)=?(x)?\psi (x)\ge 0$，根据极限的保号性的推论，有：
  $A?B=\lim ?(x)?\lim \psi (x)=\lim [?(x)?\psi (x)]\ge 0$

• 定理6（复合函数的极限运算法则）
  设函数$y=f[g(x)]$是由函数$u=g(x)$与函数$y=f(u)$复合而成，$f[g(x)]$在点$x_0$的某去心邻域内有定义，若$$\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=u_0,\underset{u\to u_0}{\lim }f(u)=A,$$且存在${\delta }_0>0,$当$x\in \stackrel{°}{U}(x_0,{\delta }_0)$时，有$g(x)\ne u_0$，则$$\underset{x\to x_0}{\lim }f[g(x)]=\underset{u\to u_0}{\lim }f(u)=A$$

  $\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=u_0??\eta >0,?{\delta }_1>0,x\in \stackrel{°}{U}(x_0,{\delta }_1),|g(x)?u_0|<\eta$
  $?{\delta }_0>0,x\in \stackrel{°}{U}(x_0,{\delta }_0),g(x)\ne u_0$
  $\delta =\min \{{\delta }_0,{\delta }_1\},x\in \stackrel{°}{U}(x_0,\delta ),g(x)\in \stackrel{°}{U}(x_0,\eta )$
  $\underset{u\to u_0}{\lim }f(u)=A??\epsilon >0,?\eta >0,u\in \stackrel{°}{U}(u_0,\eta ),|f(u)?A|<\epsilon$
  $?\epsilon >0,?\eta >0,\delta >0,x\in \stackrel{°}{U}(x_0,\delta ),u=g(x)\in \stackrel{°}{U}(x_0,\eta ),|f[g(x)]?A|=|f(u)?A|<\epsilon$

2. 极限运算方法

• 设多项式$f(x)=a_0{x}^n+a_1{x}^{n?1}+...+a_n$，则$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)$$
• 设有理分式函数$$F(x)=\frac{P(x)}{Q(x)},$$其中$P(x),Q(x)$都是多项式，于是$$\underset{x\to x_0}{\lim }P(x)=P(x_0),\underset{x\to x_0}{\lim }Q(x)=Q(x_0)$$如果$Q(x_0)\ne 0$，那么$$\underset{x\to x_0}{\lim }F(x)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{P(x_0)}{Q(x_0)}=F(x_0)$$如果$Q(x_0)=0$，那么要考虑约去零因子以及$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{a_0{x}^m+a_1{x}^{m?1}+...+a_m}{b_0{x}^n+b_1{x}^{n?1}+...+b_n}=?\begin{array}{ll}0,& n>m\\ \frac{a_0}{b_0},& n=m\\ \infty ,& n<m\end{array}$$等特殊方法

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